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可怕的椭圆:没有周长?怎样算?

发布时间:2020-02-04 19:19:24 来源:cj_admin

  原标题:可怕的椭圆:没有周长?怎样算?

  平面椭圆,一个神奇的图形。

  小时候的我,觉得椭圆就是一个普普通通的图形。直到我上了高中,接触了圆锥曲线,经历了一番摧残之后,我觉得我似乎认清了椭圆的真面目。而现在,我又碰到了椭圆积分,才发现我真的太天真了...... 所以,我现在对椭圆充满敬畏之情,不知道何时又会碰到与之有关的更为高深的知识。下面我们就从椭圆的周长开始,慢慢揭开椭圆积分的神秘面纱......

  问题的引入:椭圆的周长

  设一连续可微的平面曲线的参数方程为:

  我们取这个曲线上的一段微元并记作。有勾股定理可得:

  而:

  带入的表达式有:

  两边同时积分可得:

  这就是有关参数方程的弧长公式了。我们先小试牛刀,计算一下圆的周长。

  我们知道,圆的标准参数方程是(其中为圆的半径):

  则:

  一切过程都十分顺利,那我们再来看看椭圆:

  椭圆的标准参数方程大家肯定也不会陌生(其中为半短轴长):

  就好了。但是第一象限部分的参数的取值范围会有变化,即在第一象限中

  。参数方程的导数为:

  代入到弧长公式中得到:

  直到现在,仍一切顺利,我们在化简一下看看:

  ...... 嗯?这玩意怎么处理?到这一步会发现根号完全去不掉,原函数也找不到。到此,本文结束。

  嘿嘿,开个玩笑。聪明的数学家们是不可能就此罢休的,于是他们又开始将上面的式子进一步化简:

  其中:

  叫做椭圆的离心率。

  式还可做变量代换:

  则:

  到现在,椭圆积分的雏形已经出现了。

  2. 椭圆积分的诞生

  经过 L.Euler 等数学家的研究,椭圆积分的知识体系渐渐完善,直到 Legendre 的出现彻底彻底完善了椭圆积分的知识体系。

  我们先观察式,这个式子是椭圆周长的积分公式,而它可以被拆成两部分:

  我们将拆开后的第一部分拿出来,并去掉积分上下限和系数得到不定积分:

  再将第二部分拿出来,去掉系数和积分上下限得到另一个不定积分:

  另外还有个一个不定积分:

  这三个不定积分便是 Legendre 所总结得到的。若将上面的三个不定积分做变量代换:

  则:

  (这个我不知道怎么来的...)

  上面的分别叫做Legendre 第一类,第二类,第三类椭圆积分。

  之后 Jacobi 又定义了三类 Jacobi 椭圆积分,是将 Legendre 椭圆积分里面的换回得到的,即:

  参数叫做椭圆积分的模。

  特别的,当或

  时,这三类椭圆积分都称为完全椭圆积分,否则称为不完全椭圆积分,即:

  完全 Legendre 椭圆积分:

  完全 Jacobi 椭圆积分:

  3. 椭圆的周长公式

  椭圆并非没有周长,只不过没有精确值罢了。对于其周长公式,是一个无穷级数的形式:

  其中:为椭圆的离心率。这个级数是由第二类椭圆积分展开所得到的。(可惜我不会展开)。可见,当离心率为零时,级数退化为圆的周长公式。

  当然,椭圆的周长公式有几个近似公式:

  Fehler(误差)。误差与离心率和半短轴与半长轴之比的关系。图片来源:维基百科。

  Fehler(误差)。误差与离心率和半短轴与半长轴之比的关系。图片来源:维基百科。

  Ramanujan 近似公式:(精度很高)

  Fehler(误差),Bereich(区间)。误差与离心率之间的关系。图片来源:维基百科。

  注:原文发表在知乎专栏《数学及自然科学》,原文标题《椭圆没有周长?!》。作者授权在本公众号刊登。返回搜狐,查看更多

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